1999中国数学奥林匹克（北京）（第十四届全国中学生数学冬令营）

　　第一天（1999年1月11日上午8:00-12:30）

　　一、在锐角△ABC中，∠C＞∠B，点D是边BC上一点，使得∠ADB是钝角，H是△ABD的垂心，点F在△ABC内部且在△ABD的外接圆周上，求证点F是△ABC垂心的充分必要条件是：HD平行于CF且H在△ABC的外接圆周上.

　　二、给定实数a，设实多项式序列{fn(x)}满足f0(x)=1，fn+1(x)=xfn(x)+fn(ax)，n=0,1,2,……

　　（1）求证fn(x)=xnfn(1/x)，n=0,1,2,……

　　（2）求fn(x)的明显表达式.

　　三、MO太空城由99个空间站组成。任两空间站之间有管形通道相联。规定其中99条通道为双向通行的主干道，其余通道严格单向通行。如果某四个空间站可能通过它们之间的通道从其中任一站到达另外任一站，则称这四个站的集合为一个互通四站组。

　　试为MO太空城设计一个方案，使得互通四站组的数目最大（请具体算出该最大数，并证明你的结论）

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　　第二天（1999年1月12日上午8:00-12:30）

　　四、设m是给定的整数.求证：存在整数a，b和k.其中a，b均不能被2整除，k≥0，使得

　　2m=a19+b99+k·21999.

　　五、求最大的实数λ，使得当实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c的所有根都是非负实数时，只要x≥0，就有f(x)≥λ(x－a)3.并问上式中等号何时成立？

　　六、设4×4×4的大正方体由64个单位正方体组成.选取其中的16个单位正方体涂成红色，使得大正方体中每个由4个单位正方体构成的1×1×4的小长方体中，都恰有1个红正方体.问16个红正方体共有多少种不同取法？说明理由.