高考数学：集合与常用逻辑的复习

2019-12-31 15:32:05高考网整理

　　集合

　　1.集合的含义与表示

　　（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系

　　（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

　　2.集合间的基本关系

　　（1）理解集合之间包含于相等的含义，能识别给定集合的子集

　　（2）在具体的情境中，了解全集与空集的含义

　　3.集合的基本运算

　　（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集

　　（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集

　　（3）能使用韦恩图表达集合的关系及运算

　　常用逻辑用语

　　1.命题及其关系

　　（1）理解命题的概念

　　（2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题、与逆否命题，会分析四种命题的相互关系

　　（3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义

　　2.简单的逻辑联结词

　　了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义

　　3.全称量词与存在量词

　　（1）理解全称量词和存在量词的含义

　　（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定

　　考题分析

　　高考对集合的考查主要集中在集合的运算与集合间关系的判定与应用，常用逻辑用语考查知识面十分广泛，可以涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角函数等内容。考查的形式多为选择题，难度不大，但需掌握基本知识与方法。

　　集合的概念与表示

　　集合是数学中一个基本概念，是近现代数学最基本的内容之一，在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。在数学的《课标》中，要求学生掌握理解集合的概念，知道常用数集的概念及表示方法。

　　集合的概念

　　1.集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）；

　　集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。

　　2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……。

　　元素与集合的关系

　　1.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

　　2.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所

　　集合中元素的特性

　　1.确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了。

　　任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。

　　2.互异性：集合中的元素一定是不同的。

　　3.无序性：集合中的元素没有固定的顺序。

　　集合的分类

　　根据所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：

　　1.把不含任何元素的集合叫做空集Ф

　　2.含有有限个元素的集合叫做有限集

　　3.含有无穷个元素的集合叫做无限集

　　常用数集及其表示方法

　　1.非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N 。

　　2.正整数集：非负整数集内排除0的集，记作N*或N+ 。

　　3.整数集：全体整数的集合，记作Z 。

　　4.有理数集：全体有理数的集合，记作Q 。

　　5.实数集：全体实数的集合，记作R。

　　集合间的基本关系

　　集合是数学中的一个基本概念，由一个或多个确定的元素所构成的整体叫做集合，若x是集合A的元素，则记作x∈A。

　　集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

　　1.子集概念：

　　一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A ?B（或说A包含于B）；

　　也可记为B ?A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A ?

　　B，读作A不包含于B。

　　2.集合相等：

　　对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B。

　　3.真子集：

　　对于集合A与B，如果A?B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A?B（B?A），读作A真包含于B（B真包含A）。

　　集合间基本关系

　　1.性质1：

　　（1）空集是任何集合的子集，即A；

　　（2）空集是任何非空集合的真子集；

　　（3）传递性：A?B，B?C?A?C；A?B，B?C?A?C

　　（4）集合相等：A?B，B?A?A=B

　　（5）含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。

　　命题

　　命题分类亚里士多德在《工具论》，特别是其中的《范畴篇》中，研究了命题的不同形式及其相互关系，根据形式的不同对命题的不同类型进行了分类。亚里士多德把命题首先分为简单的和复合的两类，但他对复合命题并没有深入探讨。他进而把简单命题按质分为肯定的和否定的，按量分为全称、特称和不定的命题，例如，"愉快不是善"。他还提到个体命题，这相当于后来所谓的以专名为主项、以普遍概念为谓项的单称命题。

　　亚里士多德着重讨论了后人以A、E、I、O为代表的4种命题。他所举出的例子是："每个人是白的"；"没有人是白的"；"有人是白的"；"并非每个人是白的"。关于模态命题，他讨论了必然、不可能、可能和偶然这 4个模态词。亚里士多德所说的模态，是指事件发生的必然性、可能性等。

　　亚里士多德以后的逻辑学家，如泰奥弗拉斯多、麦加拉学派和斯多阿学派的逻辑学家，以及中世纪的逻辑学家等，又对包含有命题联结词"或者"、"并且"、"如果，则"等的复合命题进行了不断的探讨，从而丰富了逻辑学关于命题的学说。

　　传统逻辑分类

　　19世纪下半叶欧洲逻辑读本对命题的分类不尽一致。大体说来，按关系即按命题主谓项之间的关系分，有直言命题、假言命题（后件主谓项的联系以前件为条件）和选言命题（谓项之间对主项有选择关系）。从质的角度分，有肯定命题和否定命题。从量的角度分，有全称命题，包括单称命题、普遍命题（凡S是P）和特称命题。

　　这些读本还讨论了其他一些关于数量多少的命题，如涉及"多数"、"少数"之类的命题；并认为，"多数 S是P"等值于"少数S不是P"，"少数 S是P"等值于"多数S不是P"。因此，从"所有S是P"推不出"多数S是P",也推不出"少数S是P"。这些传统逻辑读本在讨论选言命题时，也往往论及联言命题、分离命题（非A并且非B）等。另外，还有一类可解析命题也是常常提到的。在这类命题中，有一种叫区别命题，其形式为"只有S才是P"；还有一种叫除外命题，其形式为"除是M的S外每个S是P"。

　　命题的四种形式

　　1．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。

　　2．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题。

　　3．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。

　　相互关系

　　1.四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。

　　2.四种命题的真假关系：

　　（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。

　　（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假）

　　（3）能够判断真假的陈述句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

　　（4）“若p，则q”形式的命题中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。

　　3.命题的分类：

　　①原命题：一个命题的本身称之为原命题，如：若x>1，则f（x）=(x-1)^2单调递增。

　　② 逆命题：将原命题的条件和结论颠倒的新命题，如：若f（x）=(x-1)^2单调递增，则x>1。

　　③ 否命题：将原命题的条件和

　　结论全否定的新命题，但不改变条件和结论的顺序，如：若x<=1，则f（x）=(x-1)^2不单调递增。

　　④ 逆否命题：将原命题的条件和结论颠倒，然后再将条件和结论全否定的新命题，如：若f（x）=(x-1)^2不单调递增，则x<=1。

　　4.命题的否定命题的否定是只将命题的结论否定的新命题，这与否命题不同。

　　逻辑联结词“或”、“且”、“非”

　　或（∨）

　　1.用联结词“或”把p与q联结起来称为一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”。

　　2.命题p∨q的真假的判定：

　　当两个命题p和q其中有一个是真命题时，形成的新命题p或q就是真命题。

　　当两个命题p和q都是假命题时，形成的新命题p或q就是假命题。

　　且（∧）

　　1.用联结词“且”把p与q联结起来称为一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”。

　　2.命题p∧q的真假的判定：

　　当两个命题p和q都是真命题时，形成的新命题p且q就是真命题。

　　如果两个命题p和q其中有一个是假命题，形成的新命题p且q就是假命题。

　　非（┐）

　　1.对于一个命题p如果仅将它的结论否定，就得到一个新命题，记作┐p，读作“非p”。

　　2.命题┐p的真假的判定：

　　在命题和他的非命题中，有一个且只有一个是真命题。