高一数学教案：《基于APOS理论的函数概念》教学设计(4)
来源：网络整理 2018-11-25 19:23:07
（七）举例应用，深化目标[图式（S）]
例3．已知函数
（1）画出函数的图象；（2）求的值；（3）你从（2）中发现了什么结论？（4）求函数的值域。
为了让学生体会到从特殊到一般的思想方法，同时也后面研究函数的性质（奇函数）作准备。
教师引导学生解决此题的关键点，并进行变式：
变式1：已知，① 当时，求函数的值域；② 当时，求函数的值域。
变式2：已知，① 当函数值域为时，求函数定义域；② 当函数值域为时，求函数定义域。
变式3：（1）已知，求的值。（2）已知，求函数.
变式4：已知，，求①的解析式；②的解析式；③的解析式。
以一个问题为背景，一题多用，一题多变，由浅入深，体现梯度，使不同程度的学生都有发展。通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养学生探究问题的能力，从而提升学生的思维品质。借助三个变式层层深入，是理论到实践的升华，使概念深化、强化、类化的作用与含义印入心底，得到再次认同，初步掌握与应用能力也就自然形成了。
（八）练习交流，反馈巩固
以学生回答、板演的形式进行课堂练习，充分发挥师与生、生与生的互动，以教师、学生相互交流来巩固本节课的学习。
（九）学生归纳小结，教师评价
以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人为一小组进行小组讨论，对本节课所学的内容进行自主小结，教师及时进行归纳总结：1．函数的近代定义与传统定义的异同点；2．集合与函数的联系、区别；3．函数的三要素；4．数形结合的思想。
三、几点启示
APOS理论对学生的函数概念的理解作出了分层分析，可以预测学生已经在多大程度上对性质作出了心理建构，从而推知学生对函数概念的掌握起点。基于APOS理论的理念设计数学性质教学，实质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，有利于学生理解函数的概念。
教学中教师要关注数学本身的特点，更重要的是要关注课堂上学生的掌握概念的思维状况，将数学知识和学生探究活动有机结合，要求教师要重视学生的学习活动，让学生亲身创设问题情境。数学教师要意识到：一个数学概念由“过程”到“对象”的建立, 有时既困难又漫长, 需要经过多次反复,循序渐进,螺旋上升, 直至学生真正理解,“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象。
学生对于函数概念的认识不是一蹴而就的，这就要要教师在教学过程中整体处理教材，把握教学的度，结合具体的问题有意识地在各个阶段的学习过程中，帮助学生逐步形成函数完整的知识链。在往后的教学中要注意学生对知识的图式的建立, 即加强知识间的联系和应用,如在讲解具体的指数函数、对数函数、幂函数时，可以以具体函数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进行研究，体现了“具体──抽象──具体”的过程，是函数概念理解的深化。又如，在讲解不等式、方程的求解及应用后，可以与函数相结合，进行对比，从而加深对函数概念的理解，帮助学生在头脑中建立起完整的数学知识的心理图式。
当然，APOS 理论的四个阶段并非一定体现在一堂数学课当中, 也不是每一课都必须遍历四个阶段, 它适用于数学概念在学生头脑中建立的一段时期,并不局限于某一堂课。比如，函数图式的形成是需要一个长期实践与反思。有些学生需要在接触了大量的具体的函数模型以后，甚至在学习了函数的复合、微分、积分以后，才能渐渐地实现从“过程”到“对象”的理解，再由“对象”到“图式”的发展。作为老师，我们应该理解学生的实际，作为数学的学习过程，也是允许学生有折返的现象。
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