高考一轮复习数学：不等式恒成立问题

　　高考数学：一轮复习函数不等式恒成立问题的基本类型

　　类型1：设 ，（1） 上恒成立 ；（2） 上恒成立 。

　　类型2：设

　　（1）当 时， 上恒成立 ，

　　上恒成立

　　（2）当 时， 上恒成立

　　上恒成立

　　类型3：

　　。

　　类型4：

　　恒成一、用一次函数的性质

　　对于一次函数 有：

　　例1：若不等式 对满足 的所有 都成立，求x的范围。

　　解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为： ，；令 ，则 时， 恒成立，所以只需 即 ，所以x的范围是 。

　　二、利用一元二次函数的判别式

　　对于一元二次函数 有：

　　（1） 上恒成立 ；（2） 上恒成立

　　例2：若不等式 的解集是R，求m的范围。

　　解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

　　（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

　　（2） 时，只需 ，所以， 。

　　三、利用函数的最值（或值域）

　　（1） 对任意x都成立 ；

　　（2） 对任意x都成立 。简单计作："大的大于最大的，小的小于最小的"。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

　　例3：在 ABC中，已知 恒成立，求实数m的范围。

　　解:由 ， ， 恒成立， ，即 恒成立，

　　例4：（1）求使不等式 恒成立的实数a的范围。

　　解析：由于函 ，显然函数有最大值 ， 。

　　如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：

　　（2）求使不等式 恒成立的实数a的范围。

　　解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得 的最大值取不到 ，即a取 也满足条件，所以 。

　　所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。

　　四：数形结合法

　　对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。

　　例5：已知 ，求实数a的取值范围。

　　解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数 在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在 在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，而 才可以，所以 。

　　例6：若当P(m,n)为圆 上任意一点时，不等式 恒成立，则c的取值范围是（   ）

　　A、     B、

　　C、             D、

　　解析：由 ，可以看作是点P(m,n)在直线 的右侧，而点P(m,n)在圆 上，实质相当于是 在直线的右侧并与它相离或相切。 ，故选D。

　　同步练习

　　1、设 其中 ，如果 时， 恒有意义，求 的取值范围。

　　分析：如 时， 恒有意义，则可转化为 恒成立，即参数分离后 ， 恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。

　　解：如果 时， 恒有意义 ，对 恒成立.

　　恒成立。

　　令 ， 又 则  对 恒成立，又 在 上为减函数， ， 。

　　2、设函数是定义在 上的增函数，如果不等式 对于任意 恒成立，求实数 的取值范围。

　　分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为 对于任意 恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。

　　解： 是增函数 对于任意 恒成立

　　对于任意 恒成立

　　对于任意 恒成立，令 ， ，所以原问题 ，又 即    易求得 。

　　3、    已知当x R时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。

　　方法一）分析：在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（x R）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。

　　解：原不等式

　　当x R时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立

　　设 则

　　∴

　　方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。

　　解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化为

　　a+1-2sin2x<5-4sinx,令sinx=t,则t [-1,1],

　　不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立 2t2-4t+4-a>0,t [-1,1]恒成立。

　　设f(t)= 2t2-4t+4-a，显然f(x)在[-1，1]内单调递减，f(t)min=f(1)=2-a, 2-a>0 a<2

　　4、设f(x)=x2-2ax+2,当x [-1,+ )时，都有f(x) a恒成立，求a的取值范围。

　　分析：在f(x) a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。

　　解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.

　　ⅰ)当 =（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x [-1,+ )，F(x)  0恒成立；

　　ⅱ）当 =4（a-1)(a+2)  0时由图可得以下充要条件： 即

　　得-3 a -2;综上所述：a的取值范围为[-3，1]。

　　5、当x (1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。

　　分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。

　　解：设T1: = ,T2: ,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x (1,2),  < 恒成立即T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只需 ,故loga2>1,a>1, 1<a 2.

　　6、已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。

　　分析：原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。

　　解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)

　　当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a= ;

　　当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a= ∴a的范围为[ ， ）。