2019年高考一轮复习数学专练：导数性质的应用

　　导数性质的简单应用及对含参问题的研究

　　1.(2017·课标全国II卷理)若 是函数 的极值点，则 的极小值为　　　　　（   ）

　　A．                 B．                C．                    D．1

　　2.（2015·天津理）已知函数 ，函数 ，其中 .若函数 恰有4个零点，则 的取值范围是（   ）

　　A．        B．        C．        D．

　　3.（2015·山东理）设函数 则满足 的 取值范围是（   ）

　　A．           B．           C．          D．

　　4. （2016o天津卷文）已知函数 为 的导函数，则 的值为_______.

　　5.(2017·北京理)（本小题13分）

　　已知函数f（x）=excosx?x．

　　（Ⅰ）求曲线y= f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

　　（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．

　　6.（2015o课标全国II卷文）(本小题满分12分)

　　已知函数 .

　　(I)讨论 的单调性；

　　(II)当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围.

　　7. （2015·山东理）(本小题满分14分)

　　设函数 ，其中 .

　　(I)讨论函数 极值点的个数，并说明理由；

　　(II)若 ， 成立，求 的取值范围.

　　8.（2015·天津理）(本小题满分14分)

　　已知函数 ， ，其中 ，且 .

　　(I)讨论 的单调性；

　　(II)设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 ，求证：对于任意的正实数 ，都有 ；

　　(III)若关于 方程 ( 为实数)有两个正实数根 ， ，求证： .

　　9.(2017·课标全国I卷理)（12分）

　　已知函数 ．

　　（1）讨论 的单调性；

　　（2）若 有两个零点，求 的取值范围．

　　10.（2017·课标全国I卷文）（12分）

　　已知函数 ．

　　（1）讨论 的单调性；

　　（2）若 ，求a的取值范围．

　　导数性质的简单应用及对含参问题的研究答案

　　1.(2017·课标全国II卷理)若 是函数 的极值点，则 的极小值为　　（   ）

　　A．                 B．                C．                    D．1

　　【答案】A

　　【解析】 ，

　　则 ，

　　则 ， ，

　　令 ，得 或 ，

　　当 或 时， ，

　　当 时， ，

　　则 极小值为 ．

　　2.（2015·天津理）已知函数 ，函数 ，其中 .若函数 恰有4个零点，则 的取值范围是（   ）

　　A．        B．        C．        D．

　　【答案】D

　　【解析】由题意，知f(2－x)＝x，0≤x≤2，4－x，x>2，x2，x<0.g(x)＝b－f(2－x)＝－x＋b，0≤x≤2，x＋b－4，x>2，－x2＋b，x<0.

　　当函数f(x)与g(x)的图像如图所示相切时，设左边切点为B(x0，y0)，

　　g ′(x0)＝－2x0＝1，

　　∴x0＝－12，y0＝32.

　　∴32＝－－122＋b，

　　b＝74，即当b＝74时，f(x)与g(x)的图像有两个交点，g(x)的图像必须还要向上平移，但g(x)图像向上平移不能超过点A，所以74<b<2.

　　【点评】关键点拨：求解本题先由f(x)的解析式求出g(x)的解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图像，进而应用图像求解b的取值范围．

　　刷有所得：(1)根据分段函数确定另一个函数解析式要注意代入时自变量取值范围满足各段函数的定义域，如本题可先确定2－x的取值范围，再分别代入，从而确定函数g(x)的解析式，亦可根据图像变换由f(x)画出－f(2－x)的图像，上下平移b个单位得到g(x)图像．(2)y＝f(x)－g(x)有零点可以转化为f(x)与g(x)的函数图像有交点．(3)解决曲线与直线交点问题可借助导数几何意义求解．

　　测训诊断：本题难度较大，主要考查已知函数有零点求参数取值范围，分段函数图像变换与导数的综合，意在考查学生分类讨论思想、数形结合解题思想和画图能力，学生失分较多．

　　3.（2015·山东理）设函数 则满足 的 取值范围是（   ）

　　A．           B．           C．          D．  【答案】C

　　【解析】f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1.

　　(1)当a≥1时，f(a)＝2a＞1，f[f(a)]＝ ，又2f(a)＝ ，∴f[f(a)]＝2f(a)符合题意；

　　(2)当a＜1时，f(a)＝3a－1.

　　①若3a－1≥1，即23≤a＜1，f[f(a)]＝23a-1，而2f(a)＝23a-1，故f[f(a)]＝2f(a)符合题意；

　　②若3a－1＜1，即a＜23， f[f(a)]＝3(3a－1)－1＝9a－4，而2f(a)＝23a-1＝12·8a.

　　令h(a)＝2f(a)－f[f(a)]＝12·8a－9a＋4a∈－∞，23.

　　则h′(a)＝12·8a·ln 8－9.

　　∵a＜23，∴8a＜4，∴h′(a)＜0，即y＝h(a)在－∞，23上单调递减，h(a)>h23＝0，即当a＜23时，方程f[f(a)]＝2f(a)无解．

　　综上a≥23，故选C.

　　【点评】测训诊断：本题难度较大，主要考查函数与方程思想、分类与整合的思想．

　　关键点拨：确定f(a)的范围是解方程的关键，故首先对a讨论，得到f(a)的范围，从而将复杂的方程化为简单方程，当a<23时，原方程的解转化求函数h(a)的零点问题，利用导数研究函数h(a)的单调性，进而解决．

　　4. （2016o天津卷文）已知函数 为 的导函数，则 的值为_______.

　　【答案】3

　　【解析】因为f ′(x)＝(2x＋3)ex，所以f ′(0)＝3.

　　【点评】测训诊断：(1)本题难度易，主要考查导数的运算，考查学生的运算求解能力，意在让学生得分．(2)本题若出错，主要是求导法则应用错误．

　　5.(2017·北京理)（本小题13分）

　　已知函数f（x）=excosx?x．

　　（Ⅰ）求曲线y= f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

　　（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．