高考数学热点函数导数题型解析

　    函数与导数、不等式

　　第1讲　函数图象与性质及函数与方程

　　高考定位　1.高考仍会以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、函数的最值与值域、函数的奇偶性、函数的单调性，或者综合考查函数的相关性质.2.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理、数形结合思想，这是高考考查函数的零点与方程的根的基本方式.

　　真 题 感 悟

　　1.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)

　　A.y＝cos x      B.y＝sin x        C.y＝ln x          D.y＝x2＋1

　　2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝1＋log2（2－x），x＜1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝(　　)

　　A.3              B.6              C.9              D.12

　　3.(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)

　　A.{x|－1＜x≤0}    B.{x|－1≤x≤1}        C.{x|－1＜x≤1}        D.{x|－1＜x≤2}

　　4.已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1) 的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________.

　　考 点 整 合

　　1.函数的性质

　　(1)单调性：证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性；

　　(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)；②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0；③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；

　　(3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数；②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线

　　x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；④若f(x＋a)＝－f(x)

　　或f（x＋a）＝1f（x），则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.

　　2.函数的图象

　　对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.

　　3.函数的零点与方程的根

　　(1)函数的零点与方程根的关系

　　函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.

　　(2)零点存在性定理

　　注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.

　　热点一　函数性质的应用

　　[微题型1]　单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性

　　【例1－1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.

　　(2)(2015·济南三模)已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是(　　)

　　A.1x2＋1＞1y2＋1          B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)        C.sin x＞sin y          D.x3＞y3

　　(3)设f(x)＝2x＋2，x＜1，－ax＋6，x≥1(a∈R)的图象关于直线x＝1对称，则a的值为(　　)

　　A.－1                  B.1              C.2              D.3

　　[微题型2]　综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性

　　【例1－2】 (1)(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)

　　A.奇函数，且在(0，1)上是增函数        B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数

　　C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数        D.偶函数，且在(0，1)上是减函数

　　(2)(2015·长沙模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________.

　　【训练1】 (2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x-m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)

　　A.a＜b＜c                      B.a＜c＜b            C.c＜a＜b                      D.c＜b＜a

　　热点二　函数图象与性质的融合问题

　　[微题型1]　函数图象的识别

　　【例2－1】 (1)(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax＋b（x＋c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)

　　A.a>0，b>0，c<0        B.a<0，b>0，c>0        C.a<0，b>0，c<0        D.a<0，b<0，c<0

　　(2)(2014·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是(　　)

　　[微题型2]　函数图象的应用

　　【例2－2】 (1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

　　A.c＞a＞b              B.c＞b＞a        C.a＞c＞b              D.b＞a＞c

　　(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是(　　)

　　A.－32e，1          B.－32e，34      C.32e，34                  D.32e，1

　　【训练2】 (2015·成都诊断)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)

　　A.有最小值－1，最大值1        B.有最大值1，无最小值

　　C.有最小值－1，无最大值        D.有最大值－1，无最小值

　　热点三　以函数零点为背景的函数问题

　　[微题型1]　函数零点个数的求解

　　【例3－1】 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)

　　A.0              B.1              C.2              D.3

　　[微题型2]　由函数零点(或方程根)的情况求参数

　　【例3－2】 (2015·天津卷)已知函数f(x)＝2－|x|，x≤2，（x－2）2，x＞2，函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(　　)

　　A.74，＋∞          B.－∞，74        C.0，74              D.74，2

　　【训练3】 (2015·南阳模拟)已知函数f(x)＝1x＋2－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________.

　　1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f(x)＝1xln x的定义域时，只考虑x＞0，忽视ln x≠0的限制.

　　2.函数定义域不同，两个函数不同；对应关系不同，两个函数不同；定义域和值域相同，也不一定是相同的函数.

　　3.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

　　4.奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性.

　　5.函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化.在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.

　　6.不能准确把握基本初等函数的形式、定义和性质.如讨论指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的单调性时，不讨论底数的取值；忽视ax＞0的隐含条件；幂函数的性质记忆不准确等.

　　7.判断函数零点个数的方法有：(1)直接求零点；(2)零点存在性定理；(3)数形结合法.

　　8.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

　　一、选择题

　　1.(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)

　　A.y＝x＋ex          B.y＝x＋1x        C.y＝2x＋12x          D.y＝1＋x2

　　2.函数f(x)＝log2x－1x的零点所在的区间为(　　)

　　A.0，12          B.12，1       C.(1，2)             D.(2，3)

　　3.已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)

　　A.0，12                 B.12，1            C.(1，2)                  D.(2，＋∞)

　　4.(2015·山东卷)设函数f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是(　　)

　　A.23，1                  B.[0，1]            C.23，＋∞                  D.[1，＋∞)

　　5.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

　　二、填空题

　　6.(2015·福建卷)若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x＞2(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.

　　7.(2015·洛阳模拟)若函数f(x)＝2x－a，x≤0，ln x，x＞0有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.

　　8.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对?x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＜0，给出下列命题：

　　①f(2)＝0；②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－4，4]上有四个零点；

　　④f(2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________.

　　三、解答题

　　9.定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时，f(x)＝14x－a2x(a∈R).

　　(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.

　　10.(2015·太原模拟)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.

　　(1)求a，b的值；(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－2mx在[2，4]上单调，求m的取值范围.

　　11.已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x＞0).

　　(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.

　　第2讲　不等式及线性规划

　　高考定位　不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.

　　真 题 感 悟

　　1.(2015·重庆卷)"x＞1"是"log12 (x＋2)＜0"的(　　)

　　A.充要条件          B.充分而不必要条件        C.必要而不充分条件          D.既不充分也不必要条件

　　2.(2015·北京卷)若x，y满足x－y≤0，x＋y≤1，x≥0，则z＝x＋2y的最大值为(　　)

　　A.0              B.1              C.32              D.2

　　3.设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f (ab)，q＝f a＋b2，r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)

　　A.q＝r＜p                  B.q＝r＞p            C.p＝r＜q                  D.p＝r＞q

　　4.(2015·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件x－1≥0，x－y≤0，x＋y－4≤0，则yx的最大值为________.

　　考 点 整 合

　　1.解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论.

　　2.利用基本不等式求最值

　　已知x，y∈R＋，则(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值

　　S24xy≤x＋y22＝S24；(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2P(x＋y≥2xy＝2P).

　　3.平面区域的确定方法是"直线定界、特殊点定域"，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集.线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－abx＋zb，可知zb是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.

　　4.不等式的证明

　　不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、数学归纳法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.其中，比较法是应用最为广泛的证明方法，在导数、解含参不等式、数列等知识点都有渗透.

　　热点一　利用基本不等式求最值

　　[微题型1]　基本不等式的简单应用

　　【 例1－1】 (2015·武汉模拟)已知两个正数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则xy取最小值时，x，y的值分别为(　　)

　　A.5，5          B.10，52          C.10，5          D.10，10

　　[微题型2]　带有约束条件的基本不等式问题

　　【例1－2】 (2015·四川卷)如果函数f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间12，2上单调递减，那么mn的最大值为(　　)

　　A.16              B.18              C.25              D.812

　　【训练1】 (1)(2015·广州模拟)若正实数x，y满足x＋y＋1＝xy，则x＋2y的最小值是(　　)

　　A.3              B.5              C.7              D.8

　　(2)已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为(　　)

　　A.1                  B.32                  C.2                  D.52