2019年高考数学总复习专练：导数的极值最值

       高考数学总复习：导数的极值、最 值

　　考点一.求函数的极值

　　1.求函数的极值：（1） ；  （2） ；  （3） ； （4） ；

　　解：（1） ；

　　（2） ，则f(-1)极小=-3；f(1)极大=-1.

　　（3）定义域：x>0,则 ， ；

　　（4） ， ；

　　（5）若 在x=1处取得极值-2，求a,b的值。

　　解： 。

　　（6）若 ，当x=-1时取极大值7，x=3取极小值，求极小值。

　　解： 。

　　（7）若 （a<0）,求f(x）取极小值时，x的值.

　　解： ，

　　（1）当 ， ， 。

　　（2）当 。

　　（3）当 ，

　　考点二。求函数最值

　　（1） ；

　　，

　　(2)求f(x)＝ 的最值；

　　解： ， 。

　　(3)已知函数f(x)＝ ，若f′(－1)＝0，求y＝f(x)在－32，1上的最值．

　　解：∵f′(－1)＝0，∴3－2a＋1＝0，即a＝2.∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3x＋13(x＋1)．由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞－13；由f′(x)＜0，得－1＜x＜－13.因此，函数f(x)的单调递增区间为－32，－1，－13，1，单调递减区间为－1，－13.∴f(x)在x＝－1处取得极大值为f(－1)＝2；f(x)在x＝－13处取得极小 值为f－13＝5027.又∵f－32＝138，f(1)＝6，且5027＞138，∴f(x)在－32，1上的最大值为f(1)＝6，最小值为f－32＝138.

　　(4)已知f(x)=xlnx，求f(x)在 上的最小值。

　　解： =0，则x= .分情况讨论：

　　（1）  t, >0,f（x)单调递增，则f（x)min=f(t)=tlnt.

　　（2）t< <t+2,在 上， <0，在 上， >0,则f（x)min=f( )= ln =- .

　　（3）  t+2, <0,f（x)单调递减，则f（x)min=f(t+2)=（t+2）ln（t+2).

　　（5）已知f(x)= ，在 上的最小值为4，求a的值。

　　解： =0，则x=a或x=1:

　　当a《1时，f(x)在 上单调递增，f(x)min=f(1)=3a-1=4,故 （舍）

　　当a》3时，f(x)在 上单调递减，f(x)min=f(3)=27-9a=4，故 （舍）

　　当1<a<3时，f(x)在 上单调递减，f(x)在 上单调递增，f(x)min=f(a)=4,故a=2或a=-1(舍）。

　　（6）求 在 上的最小值。

　　解： =0，则x=ln2a.

　　当2a《0时， ；

　　当2a>0时，当ln2a《0，即 ，f(x)在 单调递增，f(x)min=f(o)=b;

　　当ln2a》1,即a》 ，f(x)在 单调递减，f(x)min=f(1)=e-2a-b;

　　当0<ln2a<1,即 ，f(x)在（0，ln2a)单调递减，

　　在（ln2a, )单调递增，则f(x)min=f(ln2a)=2a-2aln2a-b;

　　(7)已知函数f(x)＝(a ＋bx＋c) 在[0,1]上单调递减,且满足f(0)＝1，f(1)＝0，设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．

　　解：　因为g(x)＝(－2ax＋1＋a) ，所以g′(x)＝(－2ax＋1－a) .

　　(i)当a＝0时，g′(x)＝ex>0，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，在x＝1处取得最大值g(1)＝e.

　　(ii)当a 0时，若  0时，即0<a《1,g′(x)>0,g(x)单调递增，g(x)max=g(1)=(1-a) ;g(x)min=g(0)=1+a;

　　若0< <1时，即1>a> ,在 上，g′(x)<0，在 上，g′(x)>0，

　　则g（x)min=f( )= ；g(x)max=g(x)min=g(1)=(1-a) ;

　　若  1时 即0<a《 ,g′(x)<0,g(x)单调递减，g(x)min=g(1)=(1-a) ;g(x)max=g(0)=1+a;

　　考点三.实际应用

　　（1）用总长148 m的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积

　　解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x+05） m，高为 =32－2x（m）

　　设容积为y m3，则y=x（x+05）（32－2x）（0＜x＜16），整理，得y=－2x3+22x2+16x

　　所以y′=－6x2+44x+16令y′=0，即－6x2+44x+16=0，所以15x2－11x－4=0

　　解得x=1或x=－ （不合题意，舍去）从而在定义域（0，1.6）内只有x=1处使得y′=0

　　由题意，若x过小（接近0）或过大（接近1.6）时，y值很小（接近0）

　　因此，当x=1时，y有最大值且ymax=－2+22+16=18，此时，高为32－2×1=1.2

　　答：容器的高为1.2 m时，容积最大，最大容积为1.8 m3