2019年高考数学总复习专练：函数的图像

　　高考数学总复习:图像

　　函数的图像

　　图像变换：

　　1.平移变换：① ;

　　② ;

　　2.伸缩变换：① ;

　　② ;

　　3.对称变换: ①y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称;

　　②y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称;

　　③y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称;

　　④ ;

　　⑤ ;

　　4.对称结论: ①若f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)关于x=a对称；

　　②若f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)关于x=  对称；

　　③若f(a+x)+f(a-x)=2b,则y=f(x)关于(a,b)对称；

　　④y=f(a+x)与y=f(b-x)关于直线x= 对称；;

　　考点一。图像变换

　　1.(1)为了得到函数y＝lg x＋310的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点    (　　)

　　A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

　　B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

　　C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

　　D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

　　解:　y＝lg x＋310＝lg(x＋3)－1，将y＝lg x的图象向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋3)的图象，再向下平移1个单位长度，得到y＝lg(x＋3)－1的图象．

　　(2)说明由函数 的图像经过怎样的图像变换得到函数 的图像.

　　解：（1）作出 关于 轴的对称图像，得到 ；（2）把 的图像向左平移3个单位，得到 ；（3）把 向上平移1个单位，得到 的图像.

　　（3）若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)

　　解：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，可知C正确。(4)函数y= 的图象 （  ）

　　A 关于点( 2,3)对称  B 关于点(2, 3)对称    C 关于直线x=  2对称   D 关于直线y=  3对称

　　解：

　　（5）函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，

　　则f(x)等于(　　)  A．ex＋1            B．ex－1                  C．e－x＋1           D．e－x－1

　　解：与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.

　　考点二。画图象

　　2.分别画出下列函数的图象：

　　(1)  ；　         (2)y＝x2－2|x|－1;           (3)y＝sin |x|；

　　(4)y＝2x＋2；                    (5)y＝x＋2x－1                 (6)y＝x＋2x＋3.

　　解：(1)图象如图①.               （2）y＝x2－2x－1　 x≥0 x2＋2x－1   x<0 .图象如图③.

　　(3)当x≥0时，y＝sin |x|与y＝sin x的图象完全相同，    又y＝sin |x|为偶函数，其图象关于y轴对称，其图象如图．

　　(4)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②.

　　(5)因y＝1＋3x－1，先作出y＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝x＋2x－1的图象，如图④.

　　(6)y＝x＋2x＋3＝1－1x＋3，该图象可由函数y＝－1x向左平移3个单位再向上平移1个单位得到．

　　考点三。利用函数的奇偶性、单调性等性质帮助判断函数的图像

　　3．（1）函数y＝ln(1－x)的大致图象为                                        (　　)

　　解:将函数y＝ln x的图象关于y轴对折，得到y＝ln(－x)的图象，再向右平移1个单位即得y＝ln(1－x)的图象．故选C.

　　(2)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是        (　　)

　　解：f(x)＝1＋log2x的图象由函数f(x)＝log2x的图象向上平移一个单位得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，A项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；函数g(x)＝21－x＝2×12x，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，B项中单调递减的函数与y轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D项中两个函数都是单调递增的，故选C.

　　(3)若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是    (　　)

　　解:　∵loga2<0，∴0<a<1，由f(x)＝loga(x＋1)单调性可知A、D错误，知B选项正确．

　　(4)函数y＝x＋cos x的大致图象是(　　)

　　解：∵y′＝1－sin x≥0，∴函数y＝x＋cos x为增函数，排除C.又当x＝0时，y＝1，排除A，当x＝π2时，y＝π2，排除D.∴选B.

　　(5)函数 的图象大致是  （   )

　　解：首先是奇偶性，由此排除A项；其次考虑函数值的正负情况，当 时， ，排除D项. 最后是单调性，由 ，得 ，因此函数的单调增区间与减区间各有无数个，答案排除B项，选C.

　　(6)函数 与 的图像如下图：则函数 的图像可能是（   ）

　　解：由函数f(x),g(x)的图像可知，f(x),g(x)分别是偶函数，奇函数，则f(x)g(x)是奇函数，可排除B，又∵函数 的定义域是函数 与 的定义域的交集 ，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D，故选A。

　　考点四。函数图象的应用

　　4.(1)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有 (　　)A．10个      B．9个      C．8个    D．1个

　　(2)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．

　　解：(1)观察图象可知，共有10个交点．

　　(2)y＝x2－x＋a，x≥0，x2＋x＋a，x<0，作出图象，如图所示． 此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－14，要使y＝1与其有四个交点，只需a－14<1<a∴1<a<54.

　　(3)讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．

　　解： 设y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－x|的图象与y＝kx的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k<0时，方程没有实数根；当k＝0或k<－1或k≥1时，方程只有一个实数根；当0<k<1时，方程有两个不相等的实数根．

　　(4)已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，求实数k的取值范围．

　　解:y＝|x2－1|x－1＝x＋1 x>1或x<－1 ，－x－1 －1≤x<1 .作出该函数图象可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点．

　　（5）已知函数f(x)＝2x，　　　x≥2， x－1 3，  x<2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．

　　解:图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，k的取值范围为(0,1)．