2019年高考一轮复习数学知识点：四种命题与充要条件

　　第一章  集合与常用逻辑用语

　　1．2  四种命题与充要条件

　　一．要点集结

　　1．命题

　　可以判断            的语句叫做命题,其中            的语句叫做真命题,               的语句叫做假命题．

　　2．四种命题及其关系

　　两个命题互为逆否命题,

　　它们具有         的真假性.

　　3．充分条件与必要条件

　　(1)如果p?q,则p是q的            ,q是p的             .

　　(2)如果p?q,q?p,则p是q的           ．

　　二．考点探究

　　考点1.命题的关系及其真假的判断

　　例1.有下列命题:①奇函数的图象关于原点对称;②关于y轴对称的图象是偶函数的图象;③若方程mx2-x+1=0无实根,则m>0;④在△ABC中,若cos2A=cos2B,则A=B;⑤若x+y 3,则x 1或y 2.其中正确命题的序号是            .

　　考点2.充分条件与必要条件的判定

　　例2.已知p:{x|x+2 0x-10 0},q:{x|1-m x 1+m,m>0}.

　　(1)    若m=1,则p是q的什么条件?

　　(2)    若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.

　　考点3.充要条件的证明

　　例3.已知函数f(x)是(－∞,＋∞)上的增函数,a、b R,求证:f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)的充要条件是a＋b≥0.

　　三．疑点反思

　　1.分清命题的条件与结论是什么,这对判断一个命题的真假、四种命题的关系以及充要条件都是极为重要的.

　　2.注意否命题与命题的否定的区别.

　　3.在命题真假判断、充要条件的判断过程中,如果直接判断不易进行,可考虑通过其逆否命题的真假来判断.

　　4.充要条件的证明要注意从两个方面来证明,即充分性和必要性.如果是证明"不必要"或"不充分",只需要举出反例即可.

　　四．热点研习

　　一、填空题

　　1．若非空集合A、B、C满足A∪B＝C,且B不是A的子集,则下列说法中正确的是________(填序号)．①"x∈C"是"x∈A"的充分条件但不是必要条件②"x∈C"是"x∈A"的必要条件但不是充分条件③"x∈C"是"x∈A"的充要条件④"x∈C"既不是"x∈A"的充分条件也不是"x∈A"的必要条件

　　2．命题"若一个数是负数,则它的平方是正数"的逆命题是________________．

　　3．命题"若a>b,则ac2>bc2 (a,b∈R)"与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________个．

　　4．设x∈R,则"x＝1"是"x3＝x"的____________条件．

　　5．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3,＋∞)上是增函数．若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是______________．

　　6．"a＋c>b＋d"是"a>b且c>d"的____________条件．

　　7．设f(x)＝x3＋log3(x＋x2＋1),则对任意实数a、b,"a＋b≥0"是"f(a)＋f(b)≥0"的__________条件．

　　8．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题"p或q"是假命题,则a的取值范围是______________________.

　　二、解答题

　　9．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假．

　　(1)当c<0时,若ac>bc,则a<b；   (2)若ab＝0,则a＝0或b＝0.

　　10．已知a>0,a≠1,设p：函数y＝loga(x＋1)在(0,＋∞)上单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果p且q为假命题,p或q为真命题,求a的取值范围．

　　11．已知m∈R,设p：不等式|m2－5m－3|≥3；q：函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋43)x＋6在(－∞,＋∞)上有极值．求使p且q为真命题的m的取值范围．

　　12．求证：  ≥0恒成立的充要条件是 .