数学逻辑用语汇编：充分条件与必要条件系(2)

　　16.（本小题满分13分）

　　解：（Ⅰ）∵ ，a2-a1=2，但a3-a2=-1≠2，数列{an}不具有性质P（2）；

　　同理可得，数列{an}具有性质P（4）．

　　（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={-1，0，1}是有限集，但是由于a2-a1=0，a3-a2=1，

　　所以不具有性质P（0）；

　　（必要性）因为数列{an}具有性质P（0），

　　所以一定存在一组最小的且m＞k，满足am-ak=0，即am=ak

　　由性质P（0）的含义可得am+1=ak+1，am+2=ak+2，…，a2m-k-1=am-1，a2m-k=am，…

　　所以数列{an}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：ak，ak+1，…，am-1为一个周期中的各项，

　　所以数列{an}中最多有m-1个不同的项，

　　所以T最多有 个元素，即T是有限集．

　　（Ⅲ）因为数列{an}具有性质P（2），数列{an}具有性质P（5），

　　所以存在M′、N′，使得aM'+p-aM'=2，aN'+q-aN'=5，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，

　　由性质P（2），P（5）的含义可得，aM'+p+k-aM'+k=2，aN'+q+k-aN'+k=5，

　　若M'＜N'，则取k=N'-M'，可得aN'+p-aN'=2；

　　若M'＞N'，则取k=M'-N'，可得aM'+q-aM'=5．

　　记M=max{M'，N'}，则对于aM，有aM+p-aM=2，aM+q-aM=5，显然p≠q，

　　由性质P（2），P（5）的含义可得，aM+p+k-aM+k=2，aN+q+k-aN+k=5，

　　所以aM+qp-aM=（aM+qp-aM+（q-1）p）+（aM+（q-1）p-aM+（q-2）p）+…+（aM+p-aM）=2qaM+qp-aM=（aM+pq-aM+（p-1）q）+（aM+（p-1）q-aM+（p-2）q）+…+（aM+q-aM）=5p

　　所以aM+qp=aM+2q=aM+5p．

　　所以2q=5p，

　　又p，q是满足aM+p-aM=2，aM+q-aM=5的最小的正整数，

　　所以q=5，p=2，aM+2-aM=2，aM+5-aM=5，

　　所以，aM+2+k-aM+k=2，aM+5+k-aM+k=5，

　　所以，aM+2k=aM+2（k-1）+2=…=aM+2k，aM+5k=aM+5（k-1）+5=…=aM+5k，

　　取N=M+5，则，

　　所以，若k是偶数，则aN+k=aN+k；

　　若k是奇数，则aN+k=aN+5+（k-5）=aN+5+（k-5）=aN+5+（k-5）=aN+k，

　　所以，aN+k=aN+k

　　所以aN，aN+1，aN+2，…，aN+k，…是公差为1的等差数列．

　　17.解：对于集合A，由m2-am＜12a2，故（m-4a）（m+3a）＜0，

　　对于集合B，解 ，解得：-4＜m＜2；

　　①a＞0时，集合A：-3a＜m＜4a，

　　若"m∈A"是"m∈B"的充分不必要条件，

　　则 ，解得：0＜a＜ ；

　　②a＜0时，集合A：a＜m＜-3a，

　　若"m∈A"是"m∈B"的充分不必要条件，

　　则 ，解得：- ＜a＜0，

　　综上：a∈（- ，0）∪（0， ）．

　　18.解：（1）p：a＜x＜3a，q：2＜x≤3，

　　故￢q：x＞3或x≤2

　　∵p是￢q的充分不必要条件，

　　∴3a≤2或a≥3，

　　解得：0＜a≤ 或a≥3，

　　即实数a的取值范围是（0， ]∪[3，+∞）．

　　（2）p：f′（x）=x2+mx+1，函数无极值，

　　得到△=m2-4≤0，解得：-2≤m≤2，

　　q：0＜m＜1，

　　若p或q为真命题，p且q为假命题，

　　则p，q一真一假，

　　故 或 ，

　　解得：-2≤m≤0或1≤m≤2，

　　故答案为：[-2，0]∪[1，2]．

　　19.解：（1）由|3x-4|＞2得3x-4＞2或3x-4＜-2，

　　即x＞2或x＜ ，即p： ≤x≤2

　　由q： ＞0得x2-x-2＞0得x＞2或x＜-1，即q：-1≤x≤2，

　　则p是q的充分不必要条件．

　　（2）由（x-a）（x-a-1）≥0得x≤a或x≥a+1，即r：x≤a或x≥a+1，

　　若r是p的必要非充分条件，

　　即a≥2或a+1≤ ，

　　即a≥2或a≤- ，

　　即实数a的取值范围是a≥2或a≤- ．

　　20.解：（1） （2分）

　　当a=1时，Q={x|（x-1）（x-2）≤0}={x|1≤x≤2}（4分）

　　则P∩Q={1}（6分）

　　（2）∵a≤a+1，∴Q={x|（x-a）（x-a-1）≤0}={x|a≤x≤a+1}（8分）

　　∵x∈P是x∈Q的充分条件，∴P?Q（9分）

　　∴ ，即实数a的取值范围是 （12分）

　　21.解：（I）由x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0；化为（x-3a）（x-a）＜0，解得a＜x＜3a．a=1时，1＜x＜3．

　　q：实数x满足 ，化为： ，解得2＜x≤3．

　　当p∧q为真，则 ，解得2＜x＜3．

　　∴实数x的取值范围是（2，3）．

　　（II）∵q是p的充分不必要条件，∴ ，解得1＜a≤2．

　　∴实数a的取值范围是（1，2]．

　　22.解：（1）若a=1，由x2-4x+3＜0得：1＜x＜3，∴P=（1，3）--------------（2分）

　　由 ≤0得：2＜x≤3；∴Q=（2，3]-------------------------------------------------------------（4分）

　　∴P∩Q=（2，3）---------------------------------------（5分）

　　（2）￢q为：实数x满足x≤2，或x＞3；

　　￢p为：实数x满足x2-4ax+3a2≥0，并解x2-4ax+3a2≥0得x≤a，或x≥3a-----------------（7分）

　　￢p是￢q的充分不必要条件，所以a应满足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2---------------（9分）

　　∴a的取值范围为：（1，2]----------------------------------（10分）

　　23.解：（1）由x2-4ax+3a2＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，

　　当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3，…（1分）

　　由 ，得2＜x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3，…（3分）

　　若p∧q为真，则p真且q真，…（4分）

　　∴实数x的取值范围是（2，3）．…（5分）

　　（2）p是q的必要不充分条件，即q?p，且p推不出q，

　　设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则A?B，…（7分）

　　又B=（2，3]，当a＞0时，A=（a，3a）；a＜0时，A=（3a，a），

　　∴当a＞0时，有 ，解得1＜a≤2；…（9分）

　　当a＜0时，A∩B=?，不合题意；

　　∴实数a的取值范围是（1，2]．…（10分）

　　24.解：（I）命题p：实数x满足x2-5ax+4a2＜0，其中a＞0，a＜x＜4a，解集A=（a，4a）．

　　命题q：实数x满足 ，解得2＜x≤4．解集B=（2，4]．

　　a=1，且p∧q为真，则A∩B=（1，4）∩（2，4]=（2，4）．

　　∴实数x的取值范围是（2，4）．

　　（Ⅱ）￢p：（-∞，a]∪[4a，+∞）．

　　￢q：（-∞，2]∪（4，+∞）．

　　若￢p是￢q的充分不必要条件，则 ，解得1≤a≤2．

　　∴实数a的取值范围是[1，2]．

　　25.解：命题p：x2-8x-20≤0，解得：-2≤x≤10．

　　命题q：（x-1-m）（x-1+m）≤0（m＞0），解得：1-m≤x≤1+m．

　　若q是p的充分而不必要条件，∴ ，解得m≤3．

　　∴实数m的取值范围是（-∞，3]．

　　26.解：（1）由（x+1）（2-x）≥0，

　　解得：-1≤x≤2，

　　故p为真时：x∈[-1，2]；

　　若关于x的不等式x2+2mx-m+6＞0恒成立，

　　则△=4m2-4（-m+6）＜0，

　　解得：-3＜m＜2，

　　（1）故q为真时，m∈（-3，2）；

　　（2）若p是q的充分不必要条件，

　　即p?q，

　　由p：[-1，2]?（-3，2]，

　　故m∈（-3，2]．

　　27.证明：a=0时，方程化为2x+1=0，解得x= ，满足条件．

　　a≠0时，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个实根的充要条件为△=4-4a≥0，解得a≤1，a≠0．

　　综上可得：关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个实根的充要条件为a≤1．

　　28.证明：∵x2+mx+m+3=0有两个不相等的实数解，

　　∴△=m2-4（m+3）＞0，

　　∴（m+2）（m-6）＞0．

　　解得m＜-2或m＞6．

　　∴方程x2+mx+m+3=0有两个不相等的实数解的充要条件是m＜-2或m＞6．

　　29.解2x2-3x+1≤0?（2x-1）（x-1），解得 ≤x≤1，

　　∵（x-a）（x-a-1）≤0?a≤x≤a+1，

　　由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，

　　∴ ，

　　解得0≤a≤ ，

　　故实数a的取值范围为[0， ]．

　　30.解：（1）由x-a＜0，得x＜a．当a=2时，x＜2，即p为真命题时，x＜2．

　　由x2-4x+3≤0得1≤x≤3，所以q为真时，1≤x≤3．

　　若p∧q为真，则1≤x＜2

　　所以实数x的取值范围是[1，2）．

　　（2）设A=（-∞，a），B=[1，3]，q是p的充分不必要条件，

　　所以B?A，从而a＞3．

　　所以实数a的取值范围是（3，+∞）．

　　31.证明：充分性：…（2分）

　　如果△ABC为等边三角形，那么a=b=c，

　　所以，（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，

　　所以，a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，

　　所以a2+b2+c2=ab+bc+ca．…（5分）

　　必要性：…（7分）

　　如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，那么a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，

　　所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，

　　所以a=b=0，b-c=0，c-a=0．

　　即 a=b=c．…（10分）

　　32.解：∵p是q的必要条件

　　∴p?q

　　即p?q

　　由p：-2≤x≤10

　　q：1-m≤x≤m+1

　　得

　　解得m≥9

　　33.解：p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0（a＞0），解得：a＜x＜3a．

　　q：实数x满足|x-3|＞1，解得x＞4或x＜2．

　　若p是q的充分不必要条件，则a≥4或 ，

　　解得a≥4，或 ．

　　∴实数a的取值范围是a≥4，或 ．

　　34.解：（1）∵对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，

　　∴B（n）-A（n）=C（n）-B（n），

　　即an+1-a1=an+2-a2，亦即an+2-an+1=a2-a1=4．

　　故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，于是an=1+（n-1）×4=4n-3．

　　（2）证明：（必要性）：若数列{an}是公比为q的等比数列，对任意n∈N*，有an+1=anq．由an＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是  = = =q，  = = =q，

　　即 = =q，

　　∴三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列；

　　（充分性）：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，则

　　B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），

　　于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，即an+2-a2=q（an+1-a1），亦即an+2-qan+1=a2-qa1．

　　由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2-qan+1=0．

　　∵an＞0，

　　∴ = =q．故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．

　　综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

　　35.解：由4x2+12x-7≤0，解得：- ≤x≤ ，q：a-3≤x≤a+3．

　　（1）当a=0时，q：-3≤x≤3，

　　若p真q假，则- ≤x＜-3；

　　（2）若p是q的充分条件，

　　则 ，

　　解得：- ≤x≤- ，

　　36.解：由x2-4ax+3a2＜0（a＞0）得（x-a）（x-3a）＜0，

　　得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0．

　　由 得 ，解得2＜x≤3．

　　即q：2＜x≤3．

　　（1）若a=1，则p：1＜x＜3，

　　若p∧q为真，则p，q同时为真，

　　即 ，解得2＜x＜3，

　　∴实数x的取值范围（2，3）．

　　（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，

　　∴ ，即 ，

　　解得1＜a≤2．

　　37.解：p：|1- |＜2即为p：-2＜x＜10，

　　q：x2-2x+1-m2＜0即为（x-1）2＜m2，即q：1-|m|＜x＜1+|m|，

　　q是p的充分非必要条件，

　　∴ （两式不能同时取等号）

　　得到|m|≤3，满足题意，

　　所以m的范围为[-3，3]．

　　38.解：x2-3（a+1）x+6a+2≤0，化为（x-2）[x-（3a+1）]≤0，

　　设A={x|2a≤x≤a2+1}，B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}，∵p是q的充分条件，∴A?B．

　　（1）当a≥ 时，B={x|2≤x≤3a+1}，∴ ，解得1≤a≤3．

　　（2）当a＜ 时，B={x|3a+1≤x≤2}，∴ ，解得a=-1．

　　∴实数a取值范围是{a|1≤a≤3，或a=-1}．

　　39.解：关于x的不等式x2+（a-1）x+a2≤0的解集为?，

　　∴△=（a-1）2-4a2＜0，

　　即3a2+2a-1＞0，

　　解得a＜-1或a＞ ，

　　∴p为真时a＜-1或a＞ ；

　　又函数y=（2a2-a）x为增函数，

　　∴2a2-a＞1，

　　即2a2-a-1＞0，

　　解得a＜- 或a＞1，

　　∴q为真时a＜- 或a＞1；

　　（1）∵p∨q是真命题且p∧q是假命题，∴p、q一真一假，

　　∴当P假q真时， ，即-1≤a＜- ；

　　当p真q假时， ，即 ＜a≤1；

　　∴p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的范围是-1≤a＜- 或 ＜a≤1；

　　（2）∵ ，

　　∴ -1≤0，

　　即 ，

　　解得-1≤a＜2，

　　∴a∈[-1，2），

　　∵p为真时-1≤a≤ ，

　　由[-1， ）是[-1，2）的真子集，

　　∴p?r，且r≠＞p，

　　∴命题p是命题r成立的一个充分不必要条件．

　　40.解：（1）p：实数x满足x2-x-2≤0，解得-1≤x≤2．可得解集A=[-1，2]，

　　q：实数x满足 ，化为x（x-3）＜0，解得0＜x＜3，可得解集B=（0，3）．

　　∴A∩B=（0，2]．

　　∵p∧q为真，∴实数x的取值范围是（0，2]．

　　（2）由r：实数x满足[x-（a+1）][x+（2a-1）]≤0，其中a＞0，可得解集C=[-2a+1，a+1]．

　　∵p是r的充分不必要条件，∴应有A?C，

　　可得 ，或 ，

　　解得a＞1，故实数a的取值范围是{a|a＞1}．

　　41.解：由条件q可得 ，

　　∵￢p是q的充分条件，

　　∴在 ≤x≤ 的条件下，得 恒成立，

　　∵f（x）=2[1-cos（ +2x）]-2 cos2x-1

　　=2sin2x-2 cos2x+1

　　=4sin（2x- ）+1．

　　又∵ ≤x≤ ，

　　∴ ≤2x- ≤ ，

　　即3≤4sin（2x- ）+1≤5，即3≤f（x）≤5，

　　∴只需 成立，

　　即2＜m＜6，

　　∴m的取值范围为（2，6）

　　42.解：因为p是q的必要不充分条件，所以p是q充分不必要条件…（2分）

　　由已知△=4a2-16（2a+5）≤0，∴-2≤a≤10…..（6分）

　　所以[-2，10]是[1-m，1+m]的真子集…（8分）

　　因此有

　　所以实数m的取值范围是[9，+∞）…．（12分）．

　　43.解：由x2-8x-20≤0，得：-2≤x≤10，

　　故P=[-2，10]．

　　由x2-2x+1-m2≤0，得：1-m≤x≤1+m（m＞0）．

　　故Q=[1-m，1+m]．

　　若p是q的必要不充分条件，

　　则Q?P

　　即

　　解得：0＜m≤3．

　　故实数m的取值范围为：（0，3]

　　44.解：由p：x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10，

　　∵p是q的充分不必要条件，

　　∴[-2，10]?[1-m，1+m]．

　　则 ，或 ，

　　解得m≥9．

　　故实数m的取值范围为[9，+∞）．