高中数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解

　　一、数学解题中转化与化归思想的应用

　　数学活动的实质就是思维的转化过程，在解题中，要不断改变解题方向，从不同角度，不同的侧面去探讨问题的解法，寻求最佳方法。

　　在转化过程中，应遵循三个原则：

　　1、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；

　　2、简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题；

　　3、直观化原则，即将抽象总是具体化.

　　策略一：正向向逆向转化

　　一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径.

　　例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.

　　A、150 B、147 C、144 D、141

　　分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了.

　　10个点中任取4个点取法有 种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有 种，同理其余3个面内也有 种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种， 不共面取法有 种，应选（D）.

　　策略二：局部向整体的转化

　　从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗.

　　例2：一个四面体所有棱长都是 ，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（ ）

　　A、 B、 C、 D、

　　分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为 ，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为 ，应选（A）.

　　策略三：未知向已知转化

　　又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生.

　　例3：在等差数列 中，若 ，则有等式

　　（ 成立，类比上述性质，在等比数列 中， ，则有等式_________成立.

　　分析：等差数列 中， ，必有 ，故有 类比等比数列 ，因为 ，故 成立.

　　二、逻辑划分思想

　　例题1、已知集合 A= ，B= ，若B A，求实数 a 取值的集合.

　　解 A= ： 分两种情况讨论

　　（1）B=￠，此时a=0；

　　(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种情况讨论 ：

　　(i) B={-1}，则 =-1，a=-1

　　（ii）B={1}，则 =1， a=1.（二级分类）

　　综合上述 所求集合为 .

　　例题2、设函数f(x)＝ax －2x＋2，对于满足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0，求实数a的取值范围.

　　例题3、已知 ，试比较 的大小.

　　【分析】

　　于是可以知道解本题必须分类讨论，其划分点为 .

　　小结：分类讨论的一般步骤：

　　（1）明确讨论对象及对象的范围P.（即对哪一个参数进行讨论）；

　　（2）确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级讨论.；

　　（3）逐类讨论，获取阶段性结果.（化整为零，各个击破）；

　　（4）归纳小结，综合得出结论.（主元求并，副元分类作答）.