数学奥林匹克高中训练题（一）
2009-08-31 12:27:39网络来源
| 数学奥林匹克高中训练题（一） |
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第一试 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、已知sina·cosb= – (A)[–1， 2、一个人以匀速6m/s去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红 变绿，汽车以1m/s2的加速度匀加速开走，那么………………………………（ ） (A)人可在7s内追上汽车 (B)人可在10s内追上汽车 (C)人追不上汽车，其间最近距离为5m (D)人追不上汽车，其间最近距离为7m 3、已知a、b是不相等的正数，在a、b之间插入两组数 x1,x2,…,xn, y1,y2,…,yn, 使a,x1,x2,…,xn,b成等差数列，a,y1,y2,…,yn,b成等比数列.则下列不等式 （1） （2） （3） （4） (A)（1）、（3） (B)（1）、（4） (C)（2）、（3） (D)（2）、（4）
(A)（2， (C)（3，
5、已知直线l1:y=ax+3a+2与l2:y= –3x+3的交点在第一象限.则a的取值范围为（ ） (A)（– 6、已知a、b、c三人的年龄次序满足： （1）如果b不是年龄最大，那么a年龄最小； （2）如果c不是年龄最小，那么a年龄最大. 则这三个人的年龄从大到小为…………………………………………………（ ） (A)bac (B)cba (C)abc (D)acb 二、填空题（每小题9分，共54分） 1、不等式(x–1) 2、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，则以AB为直径的圆的方程为 . 3、圆锥的母线长为l，它和底面所成的角为θ，这个圆锥的内接正方体的棱长为 （正方体有4个顶点在圆锥底面上，另4个顶点在圆锥侧面上）.
附近带球过人沿直线（图2中CD）向前推进，于 点C起脚射门。请给出使命中角∠ACB最大的一 个充分条件 （不增加辅助线）. 5、观察下列等式： 32+42=52，102+112+122=132+142，212+222+232+242=252+262+272， 362+372+382+392+402=412+422+432+442…… 其第k个等式为 . 6、集合A={x1,x2,x3,x4,x5}，计算A中的二元子集两元素之和组成集合B={3，4，5，6， 7，8，9，10，11，13}.则A= .
三、（满分20分）椭圆 内的点作垂线交椭圆于两点 C、D.连AC、A1D相交于P. 求点P所在的曲线方 程.
四、（满分20分）在直三棱住ABC–A1B1C1中，BC1⊥A1C，BC1⊥AB1.求证：△ABC 为等腰三角形.
五、（满分20分）对于给定的角a1，a2，…，an，试讨论方程xn+xn–1sina1+xn–2. sina2+…+xsinan–1+sinan=0是否有模大于2的复数根？
第二试 一、（满分50分）在锐角△ABC中，外接圆半径为R=1，∠A、∠B、∠C的对边为 a、b、c.求证：
二、（满分50分）设S为{1，2，…，50}的具有下列性质的子集，S中任意两个不同 元素之和不被7整除.则S中元素最多可能有几个？
三、（满分50分）一些选手参加竞赛，其中有些选手互相认识，有些选手互相不认识， 而任何两个不相识的选手都恰有两个共同的熟人.若A与B认识，但没有共同的 熟人，求证：A、B认识的熟人一样多. |
则cosa·sinb的取值范围为……………………………（ ）
] (B)[–
] (C)[–
] (D)[–
]
中，为真命题的是……………………（ ）
4、已知长方体的三条面对角线长为5，4，x.则x的取值范围为………………（ ）
） (B)（3，9）
） (D)（2，9）
(B)（–∞，
） (C)（–3，
(D)（–
+∞）
≥0的解集为 .
4、在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门（图2中AB）
的两个端点为A(a,0)、A1(–a,0),过线段AA1
