2000年全国高中数学联赛试题

一、　　　　　　 选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|=},则是(　　 )
(A){2} 　　(B){-1} 　　　　(C){x|x≤2}　　 　　(D)

2．设sina＞0,cosa＜0,且sin＞cos,则的取值范围是(　　 )
(A)(2kp+,2kp+), kÎZ　 　　　　　(B)(+,+),kÎZ
(C)(2kp+,2kp+p),kÎZ　　　　　　(D)(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),kÎZ

3．已知点A为双曲线x²-y²=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是(　　 )
(A)　　 　　(B)　　　　　　(C)3　　 　　　(D)6

4．给定正数p,q,a,b,c，其中p¹q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx²-2ax+c=0(　　 )
(A)无实根　 (B)有两个相等实根　 (C)有两个同号相异实根　 (D)有两个异号实根

5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是(　　 )
(A)　　 　　(B)　　　　　(C)　　　　　(D)

6．设，则以w,w³,w⁷,w⁹为根的方程是(　　 )
(A)x⁴+x³+x²+x+1=0　　　 　　　　　(B) x⁴-x³+x²-x+1=0
(C) x⁴-x³-x²+x+1=0　　　 　　　　　(D) x⁴+x³+x²-x-1=0

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．arcsin(sin2000°)=__________.

8．设a_n是(3-的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则)=________.

9．等比数列a+log₂3,a+log₄3,a+log₈3的公比是____________.

10．　　　　　　在椭圆(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.

11．　　　　　　一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.

12．　　　　　　如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；(2)a¹b,b¹c,c¹d,d¹a；(3)a是a,b,c,d中的最小值，　　　　那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________.

三、解答题(本题满分60分，每小题20分)

13．　　　　　　设S_n=1+2+3+…+n,nÎN，求f(n)=的最大值.

14．　　　　　　若函数在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].

15．　　　　　　已知C₀:x²+y²=1和C₁:(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C₁上任意一点P，均存在以P为项点,与C₀外切,与C₁内接的平行四边形？并证明你的结论。

【加试】（10月15日上午10∶00-12∶00）

一．（本题满分50分）

如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．

二．（本题满分50分）

设数列{a _n}和{b _n }满足，且

证明a _n（n=0，1，2，…）是完全平方数．

三．（本题满分50分）

有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3 ^k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．