2000中国数学奥林匹克（第十五届全国中学生数学冬令营）
2009-08-31 12:09:14网络来源
2000中国数学奥林匹克（第十五届全国中学生数学冬令营）
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第一天
一、设a、b、c为△ABC的三条边，a≤b≤c，R和r分别为△ABC的外接圆半径和内切圆半径.令f=a+b－2R－2r，试用角C的大小来判定f的符号.
二、数列{an}定义如下：a1=0，a2=1，an=(1/2)nan-11+(1/2)n(n－1)an-22+(－1)n(1－n/2)，n≥3.试求fn=an+2Cn1an-11+3Cn2an-22+…+（n－1）Cnn-2-2a2+nCnn-1-1a1的最简表达式.
三、某乒乓俱乐部组织交流活动，安排符合以下规则的双打赛程表.规则为：
（i）每名参加者至多属于两个对子；
（ii）任意两个不同对子之间至多进行一次双打；
（iii）凡表中同属一对的两人就不在任何双打中作为对手相遇.
统计各人参加的双打次数，约定将所有不同的次数组成的集合称为“赛次集”.
给定由不同的正整数组成的集合A={a1，a2，…，ak}，其中每个数都能被6整除.试问最少必须有多少人参加活动，才可以安排符合上述规则的赛程表，使得相应的赛次集恰为A.请证明你的结论.
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第二天
四、设n≥2.对n元有序实数组A=（a1，a2，…，an），令bk=ai，k=1，2，…，n.
称B=（b1，b2，…，bn）为A的“创新数组”；称B中的不同元素个数为A的“创新阶数”.
考察1，2，…，n的所有排列（将每种排列都视为一个有序数组），对其中创新阶数为2的所有排列，求它们的第一项的算术平均值.
五、若对正整数n，存在k，使得n=n1n2…nk=－1，其中n1，…，nk都是大于3的整数，则称n具有性质P.求具有性质P的所有数n.
六、某次考试有5道选择题，每题都有4个不同答案供选择.每人每题恰选1个答案.在2000份答卷中发现存在一个n，使得任何n份答卷中都存在4份，其中每两份的答案都至多3题相同.求n的最小可能值.
