代数式的变形（整式与分式）

       在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.

1．  配方

在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.

例1          （1986年全国初中竞赛题）设a、b、c、d都是整数，且m=a²+b²,n=c²+d²,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.

解mn=(a²+b²)(c²+d²)

=a²c²+2abcd+b²d²+a²d²+b²c²-2abcd

=(ac+bd)²+(ad-bc)²

=(ac-bd)²+(ad+bc)²,

所以，mn的形式为(ac+bd)²+(ad-bc)²或（ac-bd）²+(ad+bc)².

例2（1984年重庆初中竞赛题）设x、y、z为实数，且

(y-z)²+(x-y)²+(z-x)²

=(y+z-2x)²+(z+x-2y)²+(x+y-2z)².

求的值.

解  将条件化简成

2x²+2y²+2z²-2xy-2x²-2yz=0

∴(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²=0

∴x=y=z,∴原式=1.

2.因式分解

前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.

例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x²-3x+1=0的根,试求

的值.

解  ∵a为x²-3x+1=0的根,

∴ a²-3a+1=0,,且=1.

原式

说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.

3.换元

换元使复杂的问题变得简洁明了.

例4 设a+b+c=3m,求证:

(m-a)³+(m-b)³+(m-c)³-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.

证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c则

p+q+r=0.

P³+q³+r³-3pqr=(p+q+r)(p²+q²+r²-pq-qr-rp)=0

∴p³+q³+r³-3pqr=0

即  (m-a)³+(m-b)³+(m-c)³-3(m-a)(m-b)(m-c)=0

例5 (民主德国竞赛试题) 若,试比较A、B的大小.

解 设 则

.

∵2x＞y     ∴2x-y＞0, 又y＞0,

可知  ∴A＞B.

4.设参

当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.

例6 若求x+y+z的值.

解  令

则有   x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,

∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.

例7 已知a、b、c为非负实数，且a²+b²+c²=1,

,求a+b+c的值.

解  设 a+b+c=k

则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.

由条件知

即   

∴a²k-a³+b²k-b³+c²k-c³=-3abc,

∴(a²+b²+c²)k+3abc=a³+b³+c³.

∵a²+b²+c²=1,

∴k=a³+b³+c³-3abc

=(a+b)³-3a²b-3ab²+c³-3abc

=(a+b+c)[(a+b)²+c²-(a+b)c]-3ab(a+b+c),

=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca),

∴k=k(a²+b²+c²-ab-bc-ac),

∴k(a²+b²+c²-ab-bc-ca-1)=0,

∴k(-ab-bc-ac)=0.

若K=0, 就是a+b+c=0.

若-ab-bc-ac=0,

即 (a+b+c)²-(a²+b²+c²)=0,

∴(a+b+c)²=1,

∴a+b+c=±1

综上知a+b+c=0或a+b+c=±1

5.“拆”、“并”和通分

下面重点介绍分式的变形：

（1） 分离分式  为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.

例8（第1届国际数学竞赛试题）证明对于任意自然数n，分数皆不可约.,

证明  如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.

而    

显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.

（2） 表示成部分分式  将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.

例9 设n为正整数，求证：

①   ②

证明  令

通分，

比较①、②两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=.

∴

令k=1,2,…,n得 

(3)通分  通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.

例10(1986年冬令营赛前训练题)

已知

求证:.

证明  

6.其他变形

例11 (1985年全国初中竞赛题)已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x².那么计算的表达式是______.

解   x²=x(x+1)-x

或  x²=x(x-1)+x

例12 （第3届美国中学生数学竞赛题）设a、b、c、d都是正整数，且a⁵=b⁴,c³=d²,c-a=19,求d-b.

解  由质因数分解的唯一性及a⁵=b⁴,c³=d²,可设a=x⁴,c=y²,故

19=c-a=(y²-x⁴)=(y-x²)(y+x²)

   解得  x=3.  y=10.   ∴   d-b=y³-x⁵=757

                           练习 七

1选择题

（1）（第34届美国数学竞赛题）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（  ）

（A）2         （B）3          （C）6            （D）7       （E）8

（3） 已知则的值是（  ）.

(A)1      (B)0     (C)-1     (D)3

（3）（第37届美国中学数学竞赛题）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（  ）.

（A）p%     (B)%        (C)%          (D)%   (E)%

2填空题

（1）（x-3）⁵=ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________,  b+c+d+e=_______.

(2)若=_____.

(3)已知y₁=2x,y₂=,则y₁y₁₉₈₆=______

3若（x-z）²-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系.

4（1985年宁夏初中数学竞赛题）把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.

5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.

6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证

7已知a²+c²=2b²,求证

8.设有多项式f(x)=4x⁴-4px³+4qx²+2q(m+1)x+(m+1)²,求证:

如果f(x)的系数满足p²-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.

9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.

练习七

1.C.C.E

2.(1)-32,210    (2)    (3)2

3.略.

4.

5.    6.略,    7.略.

8.∵p²-4q-4(m+1)=0,   ∴4q=p²-4(m+1)=0,

∴f(x)

=4x⁴-4px³+[p²-4(m+1)]x²+2p·(m+1)x+(m+1)²

=4x⁴+p²x²+(m+1)²-4px³-4(m+1)x²+2p(m+1)x

=[2x²-px-(m+1)]².

9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为

pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),

展开整理得cdp²-(ac+bd)+pq+abq²=0,

即(cp-bq)(dp-aq)=0.

于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).

均可得出ac=bd.