构建数学模型解决物理问题

构建数学模型解决物理问题
物理学是应用数学思想与方法最充分、最成功的一门科学。可以这样说，离开了数学思想与方法，就没有真正意义上的物理学。但是，在相当多的学生中，存在着将学习数学和学习物理两者截然分开的现象:他们学习了一定的数学思想与方法，并能解决一些比较复杂的数学问题;但是在需要运用这些数学思想与方法来解决物理问题时，却表现出滞后和吃力。基于此，笔者经过对高中物理中应用数学思想与方法的多年研究，认为构建数学模型，应用数学方法，注重数学的解与物理的解的统一是解决物理问题的有效途径。
　　
　　1注重数学模型、数学方法教学的必要性
　　
　　2006年《普通高等学校招生全国统一考试大纲(理综物理)》对应用数学处理物理问题的能力的要求是:能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论;必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。可见数学是解决物理问题一个不可缺少的工具。
　　
　　2构建数学模型的基本途径
　　
　　所谓数学模型，就是用符号、字母和数字等数学语言表示的，反映问题中各要素之间数量关系的数学表达式。构建数学模型(即数学建模)解决物理问题，就是用数学语言形式表达所研究的物理问题的特征及有关量之间的关系，然后应用数学方法寻求问题答案。它是解决物理问题的一种方法，一般要经过以下两步:
　　
　　2.1物理问题向物理模型的转化
　　
　　实际的物理问题往往错综复杂，影响问题的因素很多，但在诸多的因素中，总有些因素占主导的位置，而另一些因素处于次要的位置。在众多因素中突出主要因素和主要关系，进行科学抽象，把复杂的研究对象简化，即构建物理模型。如研究地球公转，求日地间距等，就可以忽略地球的自转以及地球、太阳的线度，将地球、太阳都抽象为质点。这样，地球绕日运动就可以抽象为一质点在万有引力作用下绕另一质点的运动。
　　
　　2.2物理模型向数学模型的转化
　　
　　建立物理模型后，分析与主要因素有关的基本物理量中，哪些是常量，哪些是变量;哪些是矢量，哪些是标量;哪些是过程量，哪些是状态量;哪些是已知量，哪些是待求量。再根据物理规律找出各物理量之间的关系式，抽象出研究对象的数学模型。如上例中，地球绕太阳运动，若太阳的质量M、地球的运动周期T是已知量，地球到太阳的间距r为待求量，而G是常量。根据日地间的

       
　　
　　3数学方法的具体运用
　　
　　数学模型建立起来后，就要应用数学方法来求解。高中物理学中的数学方法，是指运用数学工具分析及阐明物理理论、解决物理问题的方法。常见的数学方法有:三角函数法、图象求解法、数学比例法、指数对数法、几何图形法、数学极值法、数列极限法、导数微元法等。在这里仅例举三角函数法、数列极限法加以说明。
　　
　　例1质量为m的物体放在地面上，它们间的滑动摩擦系数为μ，用力F斜向上拉物体，使物体在水平面上作匀速直线运动，求力与水平方向的夹角α为多大时最省力。

       
　　
　　析与解由于物体在水平面上做匀速直线运动，随着α角的不同，物体与水平面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不一样。而拉力在水平方向的分力与摩擦力相等。以物体为研究对象，受力分析如图1所示。因为物体处于平衡状态，

       
　　
　　例2一弹性小球自4.9m高处自由下落，它与地面每相碰一次后，速度就减少为碰前的7/9，试求小球从开始下落到停止运动所用的时间。

       
　　
　　4数学的解与物理的解的统一
　　
　　从实际问题提炼出数学模型后，必须根据问题的目标和条件，寻找切实可行的数学方法，求出数学的解。但获得了数学的解，并不意味着解题工作的终结，还应将它还原成物理的解，这种还原工作主要包括以下两个方面:
　　
　　4.1解释数学解的物理意义，并结合实际对数学解作出取舍
　　
　　对数学的解应该充分挖掘其内含的物理意义，并给予解释，以便自身得到认同和接受。如在运动学问题中求得的速度为负值，说明所求得的速度方向与原规定正方向相反。通过数学方程解得数学的解，有时往往不止一个，这些数学的解，有可能都具有物理意义，也可能并不是都具有物理意义，并不能全部都能在现实中客观存在，或并不具有同等的地位和价值。这时，就需要结合物理实际进行讨论，舍去不符合实际的解。
　　
　　4.2根据数学的解对解题过程作必要的修正
　　
　　如果由建立的数学模型，应用数学方法解出的数学的解都不符合物理实际意义，并不能只是简单下个无解的结论，而是应该对原数学模型作仔细的分析与反思，找到其潜在的问题，并对原数学模型进行修正。
　　
　　例3在平直公路上以20m/s匀速行驶的汽车，刹车后获得8m/s2大小的加速度，问经过5秒钟，汽车发生的位移是多少?
　　
　　错解根据匀变速直线运动的位移公式

       
　　
　　由此可见，求得数学的解后，再从物理的角度进行讨论分析，把数学的解还原成符合实际的物理的解这一过程，是十分重要的，这也是解题过程中最容易疏漏的地方。
　　
　　在物理教学过程中对学生进行数学建模思想和数学方法应用的渗透，不仅可以使学生体会到物理并非只是一门以实验为基础的自然科学，而且还可以使学生感觉到利用数学的思想和方法能很好的解决一些物理实际问题。